Question

己知定义在实数集R上的函数f（x）满足：
①f（2-x）=f（x）；②f（x+2）=f（x-2）；③当x₁，x₂∈[1，3]时，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
则f（2014）、f（2015）、f（2016）满足（　　）

• A、f（2014）＞f（2015）＞f（2016）
• B、f（2016）＞f（2015）＞f（2014）
• C、f（2016）=f（2014）＞f（2015）
• D、f（2016）=f（2014）＜f（2015）

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：①给出了函数的对称轴；②给出了周期；③确定了单调性，据此可以将给的函数值进行转化，最终变成[1，3]内的函数值再进行比较．

解答： 解：因为f（2-x）=f（x），所以该函数的对称轴为x=

2-x+x

2

=1，
由f（x+2）=f（x-2），令t=x-2，代入原式得f（t+4）=f（t），所以该函数周期为4，
因为当x₁，x₂∈[1，3]时，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，所以该函数在[1，3]上是减函数．
则f（2014）=f（4×503+2）=f（2），f（2015）=f（4×503+3）=f（3），f（2016）=f（4×504）=f（0）=f（2-0）=f（2）．
所以f（2014）=f（2016）=f（2）＞f（3）=f（2015），
故选：C．

点评：正确理解给的三个条件所体现的函数性质是解题的关键，注意化归思想在本题中应用．