Question

已知定义在R上的函数f（x）的图象连续不断，若存在常数 t（t∈R），使得f（x+t）+tf（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是回旋函数．给出下列四个命题：
①常值函数 f（x）=a（a≠0）为回旋函数的充要条件是t=-1；
②若 y=a^x（0＜a＜1）为回旋函数，则t＞l；
③函数 f（x）=x²不是回旋函数；
④若f（x）是t=2的回旋函数，则f（x）在[0，4030]上至少有2015个零点．
其中为真命题的是

 

（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：①利用回旋函数的定义即可．②若指数函数y=a^x为阶数为t回旋函数，根据定义求解，得矛盾结论．
③利用回旋函数的定义，令x=0，则必须有a=0；令x=1，则有a²+3a+1=0，故可判断；．
④由定义得到f（x+2）=-2f（x），由零点存在定理得，在区间（x，x+2）上必有一个零点令x=0，2，2×2，3×2，…，2015×2，即可得到．

解答： 解：对于①函数f（x）=2为回旋函数，则由f（x+t）+tf（x）=0，得2+2t=0，∴t=-1，故结论正确．
对于②，若指数函数y=a^x为阶数为t回旋函数，则a^x+t+ta^x=0，a^t+t=0，∴t＜0，∴结论不成立．
对于③若（x+a）²+ax²=0对任意实数都成立，令x=0，则必须有a=0，令x=1，则有a²+3a+1=0，显然a=0不是这个方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故结论正确，
对于④：若若f（x）是t=2的回旋函数，则f（x+2）+2f（x）=0对任意的实数x都成立，即有f（x+2）=-2f（x），则f（x+2）与f（x）异号，由零点存在定理得，
在区间（x，x+2）上必有一个零点，可令x=0，2，4，6，…，2015×2，则函数f（x）在[0，4030]上至少存在2015个零点．故结论正确
故答案为：①③④．

点评：本题考查新定义的理解和运用，考查函数的周期、函数的零点注意转化为函数的图象的交点个数，考查数形结合的能力，以及运算能力，属于中档题．