Question

已知函数y=f（x）的图象关于y轴对称，且满足f（x-2）=-ax²+（7a+3）x+a+10．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）令g（x）=f（x）-bx，若当x∈[

1

2

，1]时，g（x）的最大值为

11

2

，求b的值；
（3）若当x∈[2，+∞），y=f（x）的图象恒在函数y=cx图象上方，求实数c的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数解析式的求解及常用方法,函数的最值及其几何意义

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由图象的平移规律，可得f（x-2）的图象关于直线x=2对称，运用对称轴方程解得a=-1，进而得到f（x）的解析式；
（2）求出对称轴方程，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性计算即可得到b；
（3）由题意可得x²+5＞cx在x≥2时恒成立．运用参数分离和导数判断单调性求出不等式右边的最小值即可．

解答： 解：（1）函数y=f（x）的图象关于y轴对称，
则y=f（x-2）的图象可由f（x）的图象向右平移2个单位得到，
即有f（x-2）的图象关于直线x=2对称，
由

7a+3

2a

=2，解得a=-1，
f（x-2）=x²-4x+9=（x-2）²+5，
则f（x）=x²+5；
（2）g（x）=f（x）-bx=x²-bx+5，对称轴为x=

b

2

，
当

b

2

≤

1

2

，即b≤1时，区间[

1

2

，1]为增区间，则g（1）最大，且为6-b=

11

2

，解得b=

1

2

；
当

1

2

＜

b

2

＜1，即1＜b＜2时，则g（

1

2

）或g（1）最大，且为

11

2

，解得，b=-

1

2

（舍去），或b=

1

2

（舍去）；
当

b

2

≥1，即b≥2时，区间[

1

2

，1]为减区间，则g（

1

2

）最大，且为

21

4

-

b

2

=

11

2

，解得b=-

1

2

舍去．
综上可得，b=

1

2

；
（3）当x∈[2，+∞），y=f（x）的图象恒在函数y=cx图象上方，
即有x²+5＞cx在x≥2时恒成立．
则有c＜

x2+5

x

=x+

5

x

，由于x+

5

x

的导数为1-

5

x2

，当x＞

5

时，导数大于0，函数递增；
当2≤x＜

5

时，导数小于0，函数递减，
则x=

5

处函数取得最小值且为2

5

．
则c＜2

5

．
则实数c的取值范围为（-∞，2

5

）．

点评：本题考查二次函数的单调性和对称性的运用，考查分类讨论的思想方法，考查不等式的恒成立问题转化为求最值问题，考查运算能力，属于中档题和易错题．