Question

5．设函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：
①f（x）在[a，b]上是单调函数；
②f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，则称区间[a，b]是函数f（x）的“和谐区间”．
下列结论错误的是（　　）

• A． 函数f（x）=x²（x≥0）存在“和谐区间”
• B． 函数f（x）=2^x（x∈R）存在“和谐区间”
• C． 函数f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$（x＞0）不存在“和谐区间”
• D． 函数f（x）=log₂x（x＞0）存在“和谐区间”

Answer 1

分析 A、B、C中，可以找出定义域中的“和谐区间”，从而作出正确的选择．D中，假设存在“和谐区间”[a，b]，会得出错误的结论．

解答 解：A中，当x≥0时，f（x）=x²在[0，2]上是单调增函数，且f（x）在[0，2]上的值域是[0，4]，∴存在“和谐区间”，原命题正确；
B中，当x∈R时，f（x）=2^x在[1，2]上是单调增函数，且f（x）在[1，2]上的值域是[2，4]，∴存在“和谐区间”，原命题正确；
C中，f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$（x＞0）是单调减函数，且f（x）在[1，2]上的值域是[$\frac{1}{4}$，1]，∴不存在“和谐区间”，原命题正确；
D中，当x＞0时，f（x）=log₂x是单调增函数，假设存在[a，b]满足题意，则f（a）=2a，且f（b）=2b，即log₂a=2a，且log₂b=2b；
∴2^2a=a，且2^2b=b，即4^a=a，且4^b=b；这与函数的单调性矛盾，∴假设不成立，即函数不存在“和谐区间”，原命题不正确；
故选D．

点评 本题考查了新定义下的函数的性质与应用问题，解题时应理解新定义中的题意与要求，转化为解题的条件与结论，是易错题．属于中档题．