题目内容
10．已知函数f（x）=（a-1）（ax-a-x）（0＜a＜1）．（Ⅰ）判断f（x的奇偶性；
（Ⅱ）用定义证明f（x）为R上的增函数．
分析 （Ⅰ）利用奇偶性的定义即可判断函数f（x）为定义域上的奇函数；
（Ⅱ）利用单调性的定义即可证明f（x）为定义域上的增函数．
解答 解：（Ⅰ）由函数f（x）=（a-1）（ax-a-x），
对任意x∈R，都有f（-x）=（a-1）（a-x-ax）=-f（x），
所以f（x）为定义域R上的奇函数；
证明：（Ⅱ）设x1、x2∈R且x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=（a-1）（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{-x}_{1}}$）-（a-1）（${a}^{{x}_{2}}$-${a}^{{-x}_{2}}$）
=（a-1）[（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）-（${a}^{{-x}_{1}}$-${a}^{{-x}_{2}}$）]
=（a-1）[（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）-$\frac{{a}^{{x}_{2}}{-a}^{{x}_{1}}}{{a}^{{x}_{1}}{•a}^{{x}_{2}}}$]
=（a-1）（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}{+x}_{2}}}$），
由于0＜a＜1，${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$＞0，1+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}{+x}_{2}}}$＞0，
于是f（x1）＜f（x2），所以f（x）为R上的增函数．
点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的定义与应用问题，是基础题目．
练习册系列答案
相关题目
1．9${\;}^{-\frac{3}{2}}}$=（ ）
| A． | 9 | B． | 2 | C． | $\frac{1}{27}$ | D． | $-\frac{1}{9}$ |
18．表示正整数集的是（ ）
| A． | Q | B． | N | C． | N* | D． | Z |
5．设函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：
①f（x）在[a，b]上是单调函数；
②f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，则称区间[a，b]是函数f（x）的“和谐区间”．
下列结论错误的是（ ）
①f（x）在[a，b]上是单调函数；
②f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，则称区间[a，b]是函数f（x）的“和谐区间”．
下列结论错误的是（ ）
| A． | 函数f（x）=x2（x≥0）存在“和谐区间” | B． | 函数f（x）=2x（x∈R）存在“和谐区间” | ||
| C． | 函数f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$（x＞0）不存在“和谐区间” | D． | 函数f（x）=log2x（x＞0）存在“和谐区间” |