Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n²+n，n∈N^*，数列{b_n}满足a_n=4log₂b_n-1，n∈N^*．
（1）求a_n，b_n；
（2）数列c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出a_n=4n-1．由此推导出log₂b_n=n，从而求出bn=2n．
（2）由c_n=a_n+b_n=（4n-1）+2ⁿ，利用分组求和法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n²+n，n∈N^*，
∴n=1时，a₁=S₁=2+1=3，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2n²+n）-[2（n-1）²+（n-1）]=4n-1，
n=1时，4n-1=3=a₁，
∴a_n=4n-1．
∵数列{b_n}满足a_n=4log₂b_n-1，n∈N^*．
∴log₂b_n=n，∴bn=2n．
（2）∵c_n=a_n+b_n=（4n-1）+2ⁿ，
∴T_n=[4（1+2+3+…+n）-n]+（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=[4•

n(n+1)

2

-n]+

2(1-2n)

1-2

=2n（n+1）-n+2ⁿ⁺¹-2
=2n²+n+2ⁿ⁺¹-2．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．