正方体ABCD-A1B1C1D1中.AC与BD交于点O.则异面直线OC1与AD1所成角的大小为．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC与BD交于点O，则异面直线OC₁与AD₁所成角的大小为

．

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：连结BC₁，AD₁∥BC₁，∠BC₁O是异面直线OC₁与AD₁所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线OC₁与AD₁所成角的大小．

解答： 解：

连结BC₁，∵AD₁∥BC₁，
∴∠BC₁O是异面直线OC₁与AD₁所成角，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
则BO=

4+4

，C₁O=

2+4

，BC1=

4+4

，
∴cos∠BC₁O=

BC12+OC12-OB2

2BC1•OC1

8+6-2

2×2

，
∴∠BC₁O=30°．
∴异面直线OC₁与AD₁所成角的大小为30°．
故答案为：30°．

点评：本题考查异面直线OC₁与AD₁所成角的大小的求法，是基础题，解题时要注意余弦定理的合理运用．

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在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=

]的最大值和最小值，并给出取得最值时的x值；
（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且c=

，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．

已知函数f（x）=2cosxsin（x+

）+1，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[-

，

]，求函数的值域．

已知边长为2的正三角形ABC的重心为G，其中M，N分别在AB，AC边上，且

，2

，则|

|．

已知函数f（x）=x²+mx+n满足对任意x∈R，有f（x-

）=f（-x-

）成立，并且图象经过点（0，2a-1）（其中a为常数）．
（1）试用a表示m、n；
（2）当a＜0时，g（x）=

f(lnx)

lnx+1

在[e，e²]上有最小值a-1，求实数a的值；
（3）当a=-2时，对任意的x₁∈[e，e²]，存在x₂∈[-

，

2π

]使得不等式f（lnx₁）-（4λ-1）（1+lnx₁）sinx₂≥0成立，求实数λ的取值范围．

如图1，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=AB=2，BC=3，E，F分别是AD，BC上的两点，且AE=BF=1，G为AB中点，将四边形ABCD沿EF折起到（图2）所示的位置，使得EG⊥GC，连接AD、BC、AC得（图2）所示六面体．
（Ⅰ）求证：EG⊥平面CFG；
（Ⅱ）求直线CD与平面CFG所成的角的正弦值．

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