Question

若数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：S_n+S_n+1+S_n+2=6n²-2（n∈N^*）．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，求{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）若a₁=a₂=1，求S₅₀．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，根据条件求出首项和公差，即可求{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）根据数列的递推关系，得到a_n-1+a_n+a_n+1=12n-6，即可求出S₅₀．

解答： 解：（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，设公差为d，
当n=1时，S₁+S₂+S₃=6a₁+4d=4，即3a₁+2d=2，
当n=2时，S₂+S₃+S₄=22，即9a₁+10d=22，
解得a₁=-2，d=4，
即{a_n}的通项公式a_n=4n-6．
（Ⅱ）∵S_n+S_n+1+S_n+2=6n²-2（n∈N^*）．①
∴当n≥2时，S_n-1+S_n+S_n+1=6（n-1）²-2（n∈N^*）．②
①-②得a_n-1+a_n+a_n+1=12n-6，（n≥2），
则S₅₀=a₁+a₂+（a₃+a₄+a₅）+（a₆+a₇+a₈）+…+（a₄₈+a₄₉+a₅₀）=2+[（12×3-6）+（12×6-6）+…+（12×48-6）]
=2+[36×（1+2+…+16）-6×16]
=2+36×136-96=4802．

点评：本题主要考查递推数列的应用以及等差数列的应用，考查学生运算能力．