Question

过抛物线y²=4x的焦点，作倾斜角为

3π

4

的直线交抛物线于P，Q两点，O为坐标原点，求△POQ的面积．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题设条件求出直线PQ：y=-x+1，把直线PQ与抛物线联立方程组，求出|PQ|，再由点到直线的距离公式求出原点到直线PQ的距离，由此能求出△POQ的面积．

解答： 解：设F为抛物线焦点y²=4x，则F（1，0），
∵直线PQ过F（1，0），倾斜角α=

3π

4

，
∴直线PQ：y=tan

3π

4

（x-1）=-x+1，
由

y=-x+1 y2=4x

，得y²+4y-4=0，
设P（x1，y1 ），Q（x₂，y₂），
则y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4，
∴|PQ|=

(1+1)[(-4)2-4×(-4)]

=8，
∵原点O（0，0）到直线PQ：y=-x+1的距离d=

|-1|

1+1

=

2

2

，
∴S_△POQ=

1

2

|PQ|d=

1

2

×8×

2

2

=2

2

．
∴△POQ的面积是2

2

．

点评：本题考查三角形的面积的求法，是中档题，解题时要注意椭圆弦长公式和点到直线的距离公式的灵活运用．