Question

已知函数f（x）=

1

3

mx²-2x+3mx（m∈R）．
（1）若m=1，f（x）在[0，4]上的最值；
（2）若m≤0，判断函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（x）=

1

3

 (x+

3

2

)2-

3

4

 在[0，4]上是增函数，从而求得f（x）在[0，4]上的最值．
（2）若m=0，f（x）=-2x，显然函数f（x）在R上是减函数．若m＜0，根据函数f（x）=

1

3

mx²-2x+3mx 的对称轴方程，求得f（x）的单调区间．

解答： 解：（1）若m=1，则f（x）=

1

3

x²+x=

1

3

 (x+

3

2

)2-

3

4

 在[0，4]上是增函数，
故当x=0时，f（x）取得最小值为0，当x=4时，f（x）取得最大值为

28

3

．
（2）若m=0，f（x）=-2x，显然函数f（x）在R上是减函数．
若m＜0，由于函数f（x）=

1

3

mx²-2x+3mx 的对称轴为 x=

3

m

-

9

2

＜-

9

2

，
故函数f（x）在（-∞，

3

m

-

9

2

） 上是减函数，在（

3

m

-

9

2

，+∞）上是增函数．

点评：本题主要考查二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．