Question

设f（x）=2a^x-5（a＞0且a≠1）在[-1，2]上的最大值为3
（1）求a的值；
（2）当a＞1时，求f（x）在（-∞，0）上的值域．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数为指数类型的函数，分底数0＜a＜1和a＞1进行讨论在区间上的单调性，然后利用最值求参数a；
（2）利用（1）中条件求得a=2，代入函数解析式，得y=2×2^x-5，利用单调性求值域即可．

解答： 解：（1）当0＜a＜1时，函数在区间[-1，2]内是递减函数，因此当x=-1时，y取最大值，即2a^-1-5=3，解得a=

1

4

，
当a＞1时，函数y在区间[-1，2]内是递增函数，因此当x=2时，y取最大值，即2a²-5=3，解得a=2，
综上所述，a=

1

4

或2．
（2）由（1）可知，a＞1时，a=2，函数为y=2×2^x-5，且在（-∞，0）上单调递增，值域为（-∞，-3）．

点评：本题考查指数函数的单调性和利用单调性求最值的相关知识，属于基础题目．