Question

给出下列命题，其中正确的命题是

 

（把所有正确的命题的选项都填上）．
①函数y=f（x-2）和y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称；
②在R上连续的函数f（x）若是增函数，则对任意x₀∈R均有f'（x₀）＞0成立；
③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
④若P为双曲线x²-

y2

9

=1上一点，F₁、F₂为双曲线的左右焦点，且|PF₂|=4，则|PF₁|=2或6；
⑤如果（1+x+x²）（x-a）⁵（a为实常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含x⁴项的系数为-5．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：常规题型,空间位置关系与距离,简易逻辑,二项式定理

分析：①设（a，b）是函数y=f（x-2）图象上的任意一点，说明点（a，b）关于直线x=2对称的点（4-a，b）在y=f（2-x）的图象上即可，
②举反例f（x）=x³；
③侧面都是等腰三角形时侧棱也不一定都相等；
④由题意知，a=1，c=

10

，4＜1+

10

，则由|PF₂|=4，可得|PF₁|=4+2=6；故不正确；
⑤由题意可得（1+1+1²）（1-a）⁵=0，则a=1，从而求展开式中含x⁴项的系数为-

C

1 5

+

C

2 5

-

C

3 5

=-5．

解答： 解：①设（a，b）是函数y=f（x-2）图象上的任意一点，
则点（a，b）关于直线x=2对称的点（4-a，b）；
∵b=f（a-2），y=f（2-（4-a））=f（a-2）=b，
∴（4-a，b）在y=f（2-x）的图象上，
∴函数y=f（x-2）和y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称；
②不正确，例如f（x）=x³；
③不正确，侧面都是等腰三角形时侧棱也不一定都相等；
④由题意知，a=1，c=

10

，4＜1+

10

，
则由|PF₂|=4，
可得|PF₁|=4+2=6；故不正确；
⑤∵（1+x+x²）（x-a）⁵（a为实常数）的展开式中所有项的系数和为0，
∴（1+1+1²）（1-a）⁵=0，
则a=1，
则（1+x+x²）（x-1）⁵，
则展开式中含x⁴项的系数为-

C

1 5

+

C

2 5

-

C

3 5

=-5，故正确；
故答案为：①⑤．

点评：本题考查了命题的真假性的判断，函数图象对称性的判断，导数与函数单调性的关系，三棱锥的结构特征，双曲线的定义与应用及二项展开式等，考点丰富，属于难题．