Question

已知圆x²+y²-x=0与直线x+y-1=0交于P，Q两点，动圆C过P，Q两点．
（1）若圆C圆心在直线y=

1

2

x上，求圆C的方程；
（2）求动圆C的面积的最小值；
（3）若圆C与x轴相交于两点M，N（点N横坐标大于1）．若过点M任作的一条与圆O：x²+y²=4交于A，B两点直线都有∠ANM=∠BNM，求圆C的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）由题意可设圆C方程为x²+y²-x+λ（x+y-1）=0，圆C圆心在直线y=

1

2

x上即可得出λ．
（2）由（1）可得r2=

1

2

(λ+

1

2

)2+

1

8

≥

1

8

，即可得出动圆C的面积的最小值．
（3）设圆C方程为x²+y²-x+λ（x+y-1）=0，令y=0，x²+（λ-1）x-λ=0，可得x_M=1，x_N=-λ，-λ＞1．设直线AB的方程为y=k（x-1），代入x²+y²=4得，（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得根与系数的关系，由于∠ANM=∠BNM，可得

y1

x1+λ

+

y2

x2+λ

=0，代入解出即可．

解答： 解：（1）设圆C方程为x²+y²-x+λ（x+y-1）=0，
(x-

1-λ

2

)2+(y+

λ

2

)2=

2λ2+2λ+1

4

．
∵-

λ

2

=

1

2

×

1-λ

2

，解得λ=-1．
∴圆C方程为x²+y²-2x-y+1=0．
（2）由（1）可得r2=

1

2

(λ+

1

2

)2+

1

8

≥

1

8

，∴动圆C的面积的最小值为

1

8

π．
（3）设圆C方程为x²+y²-x+λ（x+y-1）=0，
令y=0，x²+（λ-1）x-λ=0，
∴（x-1）（x+λ）=0，x_M=1，x_N=-λ，-λ＞1．
设直线AB的方程为y=k（x-1），
代入x²+y²=4得，（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），从而x1+x2=

2k2

1+k2

，x1x2=

k2-4

1+k2

．
∵

y1

x1+λ

+

y2

x2+λ

=

k[(x1-1)(x2+λ)+(x2-1)(x1+λ)]

(x1+λ)(x2+λ)

，
而（x₁-1）（x₂+λ）+（x₂-1）（x₁+λ）
=2x₁x₂-（-λ+1）（x₂+x₁）-2λ=2

k2-4

1+k2

-(-λ+1)

2k2

1+k2

-2λ=

2λ-8

1+k2

，
∵∠ANM=∠BNM，
∴

y1

x1+λ

+

y2

x2+λ

=0，即

2λ-8

1+k2

=0，得λ=-4．
当直线AB与x轴垂直时也成立．
∴圆C的方程为x²-5x+y²-4y+4=0．

点评：本题考查了直线与圆的相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．