Question

16．某公司要推出一种新产品，分6个相等时长的时段进行试销，并对卖出的产品进行跟踪以及收集顾客的评价情况（包括产品评价和服务评价），在试销阶段共卖出了480件，通过对所卖出产品的评价情况和销量情况进行统计，一方面发现对该产品的好评率为$\frac{5}{6}$，对服务的好评率为0.75，对产品和服务两项都没有好评有30件，另一方面发现销量和单价有一定的线性相关关系，具体数据如下表：

时段	1	2	3	4	5	6
单价x（元）	800	820	840	860	880	900
销量y（件）	90	84	83	80	75	68

（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为产品好评和服务好评有关？
（2）该产品的成本是500元/件，预计在今后的销售中，销量和单价仍然服从这样的线性相关关系（$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$），该公司如果想获得最大利润，此产品的定价应为多少元？
（参考公式：线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$中系数计算公式分别为：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$；K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）
（参考数据

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

$\sum_{n=1}^{6}$x_iy_i=406600，$\sum_{n=1}^{6}$x_i²=4342000）

Answer 1

分析 （1）由题意得到2×2列联表，由公式求出K²的观测值，对比参考表格得结论；
（2）求出样本的中心点坐标，计算回归方程的系数，写出利润函数w的解析式，求出w（x）的最大值以及对应的x的值．

解答 解：（1）由题意可得产品好评和服务好评的2×2列联表：

	服务好评	服务没有好评	总计
产品好评	310	90	400
产品没有好评	50	30	80
总计	360	120	480

其中a=310，b=90，c=50，d=30，ad-bc=4800，
代入K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，得K²=8＜10.828．
∴不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为产品好评和服务好评有关；
（2）设获得的利润为w元，根据计算可得，$\overline{x}$=850，$\overline{y}=80$，代入入回归方程得，$\widehat{y}=-0.2x+250$．
∴w=（-0.2x+250）（x-500）=-0.2x²+350x-125000．
此函数图象为开口向下，对称轴方程为x=875，
∴当x=875时，w（x）取的最大值．
即该公司如果想获得最大利润，此产品的定价应为875元．

点评 本题考查独立性检验及线性回归方程，考查学生的计算能力，关键是对题意的理解，是中档题．