Question

6．已知抛物线C：y²=4x，过焦点F且斜率为$\sqrt{3}$的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则S_△MFN=（　　）

• A． $\frac{8}{3}$
• B． $\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{16}{3}$
• D． $\frac{{16\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 方法一：求出直线$PQ：y=\sqrt{3}（x-1）$，与抛物线y²=4x联解，求出PQ，推出MN，然后求解三角形的面积．
方法二：不妨设交点P在x轴上方，由抛物线焦点弦性质得|PF|=|PM|，|QF|=|QN|，通过$\frac{1}{|PF|}+\frac{1}{|QF|}=\frac{2}{p}=1$，求解|PF|=4，|QF|，然后求解三角形的面积．

解答 解：方法一：由题意可得直线$PQ：y=\sqrt{3}（x-1）$与抛物线y²=4x联解得：3x²-10x+3=0，
所以点$P（3，2\sqrt{3}）$，$Q（\frac{1}{3}，-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，则$MN=2\sqrt{3}+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}=\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$．在△MNF中，MN边上的高h=2，则${S_{△MNF}}=\frac{1}{2}×2×\frac{{8\sqrt{3}}}{3}=\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$，
故选：B．
方法二：不防设交点P在x轴上方，由抛物线焦点弦性质得|PF|=|PM|，|QF|=|QN|
且$\frac{1}{|PF|}+\frac{1}{|QF|}=\frac{2}{p}=1$，$\frac{|PM|-|QN|}{|PM|+|QN|}=\frac{|PF|-|QF|}{|PF|+|QF|}=\frac{1}{2}$，故|PF|=4，$|QF|=\frac{4}{3}$，
所以${S_{△MNF}}=\frac{1}{2}×|MN|×p=\frac{1}{2}×（4+\frac{4}{3}）×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×2=\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．