Question

4．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的周长为12，AB，AC边的中点分别为F₁（-1，0）和F₂（1，0），点M为BC边的中点．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）设点M的轨迹为曲线T，直线MF₁与曲线T另一个交点为N，线段MF₂中点为E，记S=S${\;}_{△N{F}_{1}O}$+S${\;}_{△M{F}_{1}E}$，求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的定义，求点M的轨迹方程；
（2）设直线MN的方程为x=my-1，代入椭圆方程，整理可得（3m²+4）y²-6my-9=0，利用韦达定理，结合三角形的面积公式，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，|MF₁|+|MF₂|=6-2=4＞2=|F₁F₂|，
∴M的轨迹是以F₁（-1，0）和F₂（1，0）为焦点的椭圆（除去与x轴的交点），a=2，c=1，
∴b=$\sqrt{3}$，
∴点M的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则由题意，设直线MN的方程为x=my-1，
代入椭圆方程，整理可得（3m²+4）y²-6my-9=0，
则y₁+y₂=$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
∴S=S${\;}_{△N{F}_{1}O}$+S${\;}_{△M{F}_{1}E}$=$\frac{1}{2}$|y₁|+$\frac{1}{2}$|y₂|=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|=6$\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{3{m}^{2}+4}}$，
令t=3m²+4≥4，则S=6$\sqrt{1-\frac{1}{3t}}$，∴t=4，S的最大值为$\sqrt{33}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查椭圆的定义，考查直线与椭圆位置关系的运用，属于中档题．