Question

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC，acosA，ccosB成等差数列．
（1）求角A的大小；
（2）若$a=3\sqrt{2}$，b+c=6，求$|{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}|$的值．

Answer 1

分析 （1）由等差数列的性质，三角函数恒等变换的应用化简可得sinA=2sinAcosA，结合sinA≠0，故求得cosA，即可得解A的值．
（2）由已知及余弦定理得bc=6，利用平面向量数量积的运算即可计算得解．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）由bcosC，acosA，ccosB成等差数列，
可得bcosC+ccosB=2acosA，…（2分）
故sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA，
所以sin（B+C）=2sinAcosA，…（4分）
又A+B+C=π，
所以sin（B+C）=sinA，
故sinA=2sinAcosA，
又由A∈（0，π），可知sinA≠0，故$cosA=\frac{1}{2}$，所以$A=\frac{π}{3}$．　   …（6分）
（另法：利用bcosC+ccosB=a求解）
（2）在△ABC中，由余弦定理得${b^2}+{c^2}-2bccos\frac{π}{3}={（3\sqrt{2}）^2}$，…（8分）
即b²+c²-bc=18，故（b+c）²-3bc=18，又b+c=6，故bc=6，…（10分）
所以${|{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}|^2}={（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）^2}={\overrightarrow{AB}^2}+{\overrightarrow{AC}^2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$|\overrightarrow{AB}{|^2}+|\overrightarrow{AC}{|^2}+2|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|cosA$…（12分）
=c²+b²+bc=（b+c）²-bc=30，
故$|{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}|=\sqrt{30}$．　 …（14分）

点评 本题主要考查了等差数列的性质，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，平面向量数量积的运算在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．