Question

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的周长为6
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设F₁，F₂是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形ABCD的一组对边过点F₁和F₂，求这个平行四边形的面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得：$b=\sqrt{3}c$，2a+2c=6，a²=b²+c²，解出即可得出．
（II）设过椭圆右焦点F₂的直线l：x=ty+1与椭圆交于A，B两点，与椭圆方程联立得：（3t²+4）y²+6ty-9=0，由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形面积、函数单调性，能求出平行四边形面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得：$b=\sqrt{3}c$，2a+2c=6，a²=b²+c²，
解得a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（II）设过椭圆右焦点F₂的直线l：x=ty+1与椭圆交于A，B两点，
则$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，整理，得：（3t²+4）y²+6ty-9=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-6t}{3{t}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-9}{3{t}^{2}+4}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{-6t}{3{t}^{2}+4}）^{2}+\frac{36}{3{t}^{2}+4}}$=$\frac{12\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$，
∴S_△AOB=${S}_{△O{F}_{1}A}+{S}_{△O{F}_{1}B}$=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂||OF|=$\frac{6\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$，
椭圆C的内接平行四边形面积为S=4S_△OAB=$\frac{24\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$．
令m=$\sqrt{1+{t}^{2}}$≥1，则S=f（m）=$\frac{24m}{3{m}^{2}+1}$=$\frac{24}{3m+\frac{1}{m}}$，
注意到S=f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴S_max=f（1）=6，
当且仅当m=1，即t=0时等号成立．故这个平行四边形面积的最大值为6．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、弦长公式、三角形面积计算公式、换元法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．