Question

4．如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤1）．
（Ⅰ）求证：对任意的λ∈（0，1），都有AC⊥BE；
（Ⅱ）若直线DE与平面ACE所成角大小为60°，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BD，推导出AC⊥BD，由三垂线定理能证明AC⊥BE．
（II）推导出SD⊥CD，CD⊥AD，过点D在平面SAD内作DF⊥AE于F，连接CF，则∠CFD是二面角C-AE-D 的平面角，由此利用直线DE与平面ACE所成角大小为60°，能求出λ．

解答 证明：（Ⅰ）连接BD，由底面是正方形可得AC⊥BD，
∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，
由三垂线定理得AC⊥BE．
解：（II）∵SD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴SD⊥CD．
又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
又SD∩AD=D，∴CD⊥平面SAD，
过点D在平面SAD内作DF⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，
∴∠CFD是二面角C-AE-D 的平面角，
∵直线DE与平面ACE所成角大小为60°，∴∠CFD=60°，
在Rt△ADE中，∵AD=a，DE=λa，AE=a$\sqrt{{λ}^{2}+1}$，
于是，DF=$\frac{AD•DE}{AE}$=$\frac{λa}{\sqrt{{λ}^{2}+1}}$，
在Rt△CDF中，由cot60°=$\frac{DE}{CD}=\frac{λ}{\sqrt{{λ}^{2}+1}}$，
解得$λ=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查满足线面角为60°的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．