Question

9．正四棱锥P-ABCD的侧棱与底面边长相等均为a，此四棱锥的高为$\frac{\sqrt{2}}{2}$a；侧棱与底面所成的角$\frac{π}{4}$；侧面与底面所成的角arctan$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据正四棱锥的性质结合直角三角形的边角关系进行求高，结合线面角和二面角的定义作出平面角进行求解即可．

解答 解：如图所示，
连接AC，BD，相交于点O，连接OP．
∵四棱锥P-ABCD是正四棱锥，
∴OP⊥底面ABCD．
∴∠PAO是侧棱与底面所成的角．
取BC的中点E，连接PE，OE，
则∠PEO是侧面与底面所成的角
∵正四棱锥P-ABCD的侧棱与底面边长相等均为a，
∴AO=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
则PO=$\sqrt{P{A}^{2}-O{A}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
在Rt△OAP中，cos∠PAO=$\frac{OA}{AP}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$∠PAO=\frac{π}{4}$，
即侧棱与底面所成的角是$\frac{π}{4}$，
∵OE=$\frac{1}{2}$a，
∴tan∠PEO=$\frac{PO}{OE}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{1}{2}a}$=$\sqrt{2}$，
即∠PEO=arctan$\sqrt{2}$，
故答案为：$\frac{π}{4}$．arctan$\sqrt{2}$

点评 本题主要考查线面角和二面角的求解，根据条件结合线面角和二面角的定义作出平面角是解决本题的关键．