Question

17．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（-x²+ax-3）e^x（a为实数）．
（1）当a=4时，求函数y=g（x）在x=0处的切线方程；
（2）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）如果关于x的方程g（x）=2e^xf（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有两个不等实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把a=4代入函数g（x）的解析式，求出导数，得到g（0）和g′（0），由直线方程的点斜式得切线方程；
（2）利用导数求出函数f（x）在[t，t+2]上的单调区间，求出极值和区间端点值，比较大小后得到f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）把f（x）和g（x）的解析式代入g（x）=2e^xf（x），分离变量a，然后构造函数$h（x）=x+2lnx+\frac{3}{x}$，由导数求出其在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值和最小值，则实数a的取值范围可求．

解答 解：（Ⅰ）当a=4时，g（x）=（-x²+4x-3）e^x，g（0）=-3．
g′（x）=（-x²+2x+1）e^x，故切线的斜率为g′（0）=1，
∴切线方程为：y+3=x-0，即y=x-3；
（Ⅱ）f′（x）=lnx+1，

x	$（0，\frac{1}{e}）$	$\frac{1}{e}$	$（\frac{1}{e}，+∞）$
f'（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值（最小值）	单调递增

①当$t≥\frac{1}{e}$时，在区间（t，t+2）上f（x）为增函数，
∴f（x）_min=f（t）=tlnt；                                      
②当$0＜t＜\frac{1}{e}$时，在区间$（t，\frac{1}{e}）$上f（x）为减函数，在区间$（\frac{1}{e}，e）$上f（x）为增函数，
∴$f（x）_{min}=f（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$；                                     
（Ⅲ） 由g（x）=2e^xf（x），可得：2xlnx=-x²+ax-3，$a=x+2lnx+\frac{3}{x}$，
令$h（x）=x+2lnx+\frac{3}{x}$，${h}^{′}（x）=1+\frac{2}{x}-\frac{3}{{x}^{2}}=\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$．
当x，h（x），h′（x）变化如下：

x	$（\frac{1}{e}，1）$	1	（1，e）
h′（x）	-	0	+
h（x）	单调递减	极小值（最小值）	单调递增

∵$h（\frac{1}{e}）=\frac{1}{e}+3e-2$，h（1）=4，h（e）=$\frac{3}{e}+e+2$，$h（e）-h（\frac{1}{e}）=4-2e+\frac{2}{e}＜0$．
∴关于x的方程g（x）=2e^xf（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有两个不等实根，
则$4＜a≤e+2+\frac{3}{e}$．

点评 本题考查了导数在求函数最值中的应用，关键在于由导函数的符号确定原函数的单调性，考查利用构造函数法求解含字母系数的范围问题，综合性较强，难度较大．