Question

14．如图，AD，CF分别是△ABC的中线和高线，PB，PC是△ABC外接圆O的切线，点E是PA与圆O的交点．
（1）求证：AC•CD=AF•PC；
（2）求证：DC平分∠ADE．

Answer 1

分析 （1）证明△AFC∽△CDP，即可证明AC•CD=AF•PC；
（2）延长AD交圆O于点G，连结GE，BG，EC，证明，△BDG≌△CDE，可得∠BDG=∠CDE，∠ADC=∠BDG=∠CDE，即可证明：DC平分∠ADE．

解答 证明：（1）由PC为圆O切线，知∠CAF=∠DCP，（1分）
∵PB，PC是圆O的切线，D为BC中点，
∴O，D，P三点共线，且OP⊥BC，（2分）
∴∠AFC=∠CDP=90°，△AFC∽△CDP，（3分）
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{CD}{CP}$，即AC•CD=AF•CP．（4分）
（2）∵CF⊥AB，D为BC中点，
∴$FD=\frac{1}{2}BC=DC=DB$，∠DFB=∠DBF，（5分）
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{FD}{CP}$，于是$\frac{FA}{FD}=\frac{CA}{CP}$，（6分）
又∵∠AFD=180°-∠DFB=180°-∠ABC=∠ACP，
∴△AFD∽△ACP，（7分）
延长AD交圆O于点G，连结GE，BG，EC，
由△AFD∽△ACP，知∠DAF=∠PAC，
∴BG=EC，∠CBG=∠BCE，（8分）
又D为BC中点，DB=DC，∴△BDG≌△CDE，（9分）
∴∠BDG=∠CDE，∠ADC=∠BDG=∠CDE，
∴DC平分∠ADE．（10分）

点评 本小题考查相似三角形、圆心与半径、切割线、角平分线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想．