题目内容
已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，给出下列6个函数：
①g（x）=
；
②g（x）=sin（
π+x）；
③g（x）=
；
④g（x）=lgsinx；
⑤g（x）=lg（
+x）；
⑥g（x）=
-1
其中可以使函数F（x）=f（x）•g（x）是偶函数的函数是（ ）
①g（x）=
| sinx(1-sinx) |
| 1-sinx |
②g（x）=sin（
| 5 |
| 2 |
③g（x）=
| 1+sinx-cosx |
| 1+sinx+cosx |
④g（x）=lgsinx；
⑤g（x）=lg（
| x2+1 |
⑥g（x）=
| 2 |
| ex+1 |
其中可以使函数F（x）=f（x）•g（x）是偶函数的函数是（ ）
| A、①⑥ | B、①⑤ | C、⑤⑥ | D、③⑤ |
考点：函数奇偶性的判断
专题：函数的性质及应用
分析：若使函数F（x）=f（x）•g（x）是偶函数，则只需要g（x）是奇函数即可．分别根据函数奇偶性的定义进行判决即可．
解答：
解：∵f（x）是定义域为R的奇函数，
∴若使函数F（x）=f（x）•g（x）是偶函数，则g（x）是奇函数即可．
①g（x）=
=sinx，要使函数有意义，则1-sinx≠0，即sinx≠1，即x≠2kπ+
，定义域关于原点不对称，∴g（x）为非奇非偶函数；
②g（x）=sin（
π+x）=cosx，为偶函数，不满足条件；
③g（x）=
；则g（
）=
=1，当x=-
无意义，即函数定义域关于原点不对称，∴g（x）为非奇非偶函数
④g（x）=lgsinx；要使函数有意义，则sinx＞0，即2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z，即函数定义域关于原点不对称，∴g（x）为非奇非偶函数
⑤若g（x）=lg（
+x）；则g（-x）=lg(
-x)=lg
=lg(
+x)-1=-lg?(
+x)=-g(x)，
∴g（x）为奇函数，满足条件．
⑥∵g（x）=
-1=
=
，
∴g(-x)=
=
=-
=-g(x)，
即函数g（x）是奇函数，满足条件．
故选：C．
∴若使函数F（x）=f（x）•g（x）是偶函数，则g（x）是奇函数即可．
①g（x）=
| sinx(1-sinx) |
| 1-sinx |
| π |
| 2 |
②g（x）=sin（
| 5 |
| 2 |
③g（x）=
| 1+sinx-cosx |
| 1+sinx+cosx |
| π |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| π |
| 2 |
④g（x）=lgsinx；要使函数有意义，则sinx＞0，即2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z，即函数定义域关于原点不对称，∴g（x）为非奇非偶函数
⑤若g（x）=lg（
| x2+1 |
| x2+1 |
| 1 | ||
|
| x2+1 |
| x2+1 |
∴g（x）为奇函数，满足条件．
⑥∵g（x）=
| 2 |
| ex+1 |
| 2-ex-1 |
| ex+1 |
| 1-ex |
| ex+1 |
∴g(-x)=
| 1-e-x |
| e-x+1 |
| ex-1 |
| ex+1 |
| 1-ex |
| ex+1 |
即函数g（x）是奇函数，满足条件．
故选：C．
点评：本题主要考查函数奇偶性的应用和判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键，注意函数定义域的对称的特点．
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+x)是（ ）
| 5π |
| 2 |
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| b2-1 |
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