题目内容

已知f（x）=cos2ωx+
3
sinωxcosωx-
1
2
，其中0＜ω＜2，且f（
π
6
-x）=f（
π
6
+x），若f（
x0
2
）=
3
5
，x0∈（0，
π
2
），求cosx0．
考点：三角函数中的恒等变换应用
专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质
分析：利用倍角公式和两角和差的正弦公式可得f（x）=sin(2ωx+
π
6
)．利用对称性f（
π
6
-x）=f（
π
6
+x），可得ω．进而再利用三角函数的单调性、两角和差的正弦余弦公式、平方关系即可得出．
解答： 解：f（x）=
1+cos2ωx
2
+
3
2
sin2ωx-
1
2

=sin(2ωx+
π
6
)
∵f（
π
6
-x）=f（
π
6
+x），
∴f(
π
6
)=sin(
ωπ
3
+
π
6
)=±1．
又0＜ω＜2，∴
π
6
＜
ωπ
3
+
π
6
＜
5π
6
．
∴
ωπ
3
+
π
6
=
π
2
，
解得ω=1．
∴f（x）=sin(2x+
π
6
)．
∵f（
x0
2
）=
3
5
，x0∈（0，
π
2
），
∴sin(x0+
π
6
)=
3
5
．
∴cos(x0+
π
6
)=±
1-sin2(x0+
π
6
)
=±
4
5
．
∵x0∈（0，
π
2
），∴(x0+
π
6
)∈(
π
6
，
2π
3
)．
∴-
1
2
＜cos(x0+
π
6
)＜
3
2
．
∴cos(x0+
π
6
)=
4
5
．
∴cosx0=cos[(x0+
π
6
)-
π
6
]=cos(x0+
π
6
)cos
π
6
+sin(x0+
π
6
)sin
π
6

=
4
5
×
3
2
+
3
5
×
1
2

=
3+4
3
10
．
点评：本题综合考查了三角函数的图象与性质、三角函数恒等变换、拆分角等基础知识与基本技能方法，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
若方程
x2
4-t
+
y2
t-1
=1所表示的曲线为C，给出下列四个命题：
①若C为椭圆，则1＜t＜4，且t≠
5
2
；
②若C为双曲线，则t＞4或t＜1；
③曲线C不可能是圆；
④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1＜t＜
3
2
．
其中正确的命题是
 
．（把所有正确命题的序号都填在横线上）
已知a=log3
1
2
，b=(
1
2
)-2，c=2-3，则a，b，c的大小顺序为（　　）
A、b＜c＜a
B、b＜a＜c
C、a＜c＜b
D、c＜a＜b
设集合M={0，1，2}，N={0，1}，则M∪N=（　　）
A、{2}
B、{0，1}
C、{0，2}
D、{0，1，2}
已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，给出下列6个函数：
①g（x）=
sinx(1-sinx)
1-sinx
；
②g（x）=sin（
5
2
π+x）；
③g（x）=
1+sinx-cosx
1+sinx+cosx
；
④g（x）=lgsinx；
⑤g（x）=lg（
x2+1
+x）；
⑥g（x）=
2
ex+1
-1
其中可以使函数F（x）=f（x）•g（x）是偶函数的函数是（　　）
A、①⑥B、①⑤C、⑤⑥D、③⑤
设A={x|x=2n，n∈Z}，B={x|x=6m+10p，m、p∈Z}，求证：A=B．
化简（x 
1
2
-x
1
4
+1）（x 
1
2
+x
1
4
+1）（x-x 
1
2
+1）
计算：
1-2sin1085°sin(-2075°)
cos5°-
1-sin295°
．
工厂需要围建一个面积为512m2 的矩形堆料场，一过可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，我们知道，砌起的新墙的总长度y（单位：m）是利用原有墙壁长度x（单位：m）的函数．
（1）写出y关于x的函数解析式，确定x的取值范围：
（2）随着x的变化，y的变化有何规律？
（3）堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？

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