题目内容
在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，且bcosC=2acosB-ccosB
（1）求∠B；
（2）a2+c2=6（a+c）-18，求S△ABC．
（1）求∠B；
（2）a2+c2=6（a+c）-18，求S△ABC．
考点：余弦定理,正弦定理
专题：三角函数的求值
分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，变形好根据sinA不为0求出cosB的值，即可确定出B度数；
（2）已知等式移项变形后，利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出a与c的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式计算即可得到结果．
（2）已知等式移项变形后，利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出a与c的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式计算即可得到结果．
解答：
解：（1）已知等式bcosC=2acosB-ccosB，利用正弦定理化简得：sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，
即sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=sinA=2sinAcosB，
∵sinA≠0，
∴cosB=
，
则∠B=60°；
（2）由a2+c2=6（a+c）-18，得到a2-6a+9+c2-6c+9=（a-3）2+（c-3）2=0，
∴a=c=3，
则S△ABC=
acsinB=
．
即sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=sinA=2sinAcosB，
∵sinA≠0，
∴cosB=
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则∠B=60°；
（2）由a2+c2=6（a+c）-18，得到a2-6a+9+c2-6c+9=（a-3）2+（c-3）2=0，
∴a=c=3，
则S△ABC=
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点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及非负数的性质，熟练掌握定理是解本题的关键．
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