Question

已知直线x+y=a与圆x²+y²=9交于两点A、B，且|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，其中O为坐标原点，则实数a的值为（　　）

• A、3
• B、-3
• C、±3
• D、±

  3 2

  2

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立

x+y=a x2+y2=9

，可得2x²-2ax+a²-9=0．△＞0．可得根与系数的关系，利用|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，可得

OA

⊥

OB

，

OA

•

OB

=0．即x₁x₂+y₁y₂=0，代入解出即可．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

x+y=a x2+y2=9

，化为2x²-2ax+a²-9=0．
△=4a²-8（a²-9）=4（18-a²）＞0．（*）．
∴x₁+x₂=a，x1x2=

a2-9

2

．
∵|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，
∴

OA

⊥

OB

．
∴

OA

•

OB

=0．
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（a-x₁）（a-x₂）=2x1x2-a(x1+x2)+a2=0，
∴a²-9-a²+a²=0，
解得a=±3，满足（*）．
故选：C．

点评：本题考查了直线与圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、向量的平行四边形法则，考查了推理能力和技能数列，属于中档题．