Question

若函数f（x）=a^x-a-x存在唯一的零点x₀，则当x₀＞x＞0时，恒有（　　）

• A、f（x）＜0
• B、1-a＞f（x）＞0
• C、f（x）＞1-a
• D、以上判断都有可能

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件确定a的取值范围，利用函数的单调性即可得到结论．

解答： 解：由f（x）=a^x-a-x=0得a^x=x+a，
若a＞1，函数y=a^x与y=x+a有两个交点，不满足条件，
若0＜a＜1，函数y=a^x与y=x+a有1个交点，不足条件，
即若函数f（x）=a^x-a-x存在唯一的零点x₀，
则0＜a＜1，此时函数f（x）=a^x-a-x单调递减，
若x₀＞x＞0，则f（x₀）＜f（x）＜f（0），
即0＜f（x）＜1-a，
故选：B

点评：本题主要考查函数零点的应用，根据函数和方程之间的关系，利用数形结合确定a的取值范围是解决本题的关键．