Question

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（2，2ⁿ⁺¹）处的切线与x轴交点的横坐标为a_n，则数列{（n+1）a_n}的前n项和为（　　）

• A、n²-1
• B、n²+1
• C、n²-n
• D、n²+n

Answer 1

考点：数列的求和,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：先求出切线的斜率：函数曲线y=xⁿ⁺¹在x=2出的导数值，再由点斜式写出切线方程，令y=0求出a_n，最后求数列{（n+1）a_n}的前n项和．

解答： 解：∵y=xⁿ⁺¹，
∴y′=（n+1）•xⁿ，
∴直线的方程为y-2ⁿ⁺¹=（n+1）•2ⁿ•（x-2），
令y=0得a_n=

2n

n+1

，
∴（n+1）a_n=2n，
∴数列{（n+1）a_n}的前n项和为2×

n(n+1)

2

=n²+n．
故选：D．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及直线方程等有关知识，属于基础题．