Question

如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2，短半轴长为1，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S．

（Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；
（Ⅱ）记f（x）=S²，求f（x）的最大值及面积S的最大值．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,椭圆的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）建立直角坐标系，设点C的横坐标为x．可得纵坐标y=2

1-x2

(0＜x＜1)，可表示出面积；（Ⅱ）由题意f（x）=S²=4（x+1）²（1-x²），0＜x＜1，求导数可得函数的极值，进而可得最值，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，以AB的中点O为原点，
以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，
设点C的横坐标为x．点C的纵坐标y满足方程x2+

y2

4

=1(y≥0)，
解得y=2

1-x2

(0＜x＜1)，
∴S=

1

2

(2x+2)•2

1-x2

=2(x+1)•

1-x2

，其定义域为{x|0＜x＜1}；
（Ⅱ）由题意f（x）=S²=4（x+1）²（1-x²），0＜x＜1，
∴f'（x）=8（x+1）²（1-2x）．
令f'（x）=0，得x=

1

2

．
∵当0＜x＜

1

2

时，f'（x）＞0；当

1

2

＜x＜1时，f'（x）＜0，
∴f(

1

2

)是f（x）的极大值，也是最大值，
∴当x=

1

2

时，S也取得最大值，且最大值为

f( 1 2 )

=

3 3

2

∴梯形面积S的最大值为

3 3

2

点评：本题考查函数解析式的求解，涉及导数和椭圆的方程，属中档题．