Question

若对于给定的正实数k，函数f（x）=

k

x

的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为2，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：圆方程的综合应用

专题：综合题,直线与圆

分析：根据题意得：以C为圆心，1为半径的圆与原点为圆心，2为半径的圆有两个交点，即C到原点距离小于3，即f（x）的图象上离原点最近的点到原点的距离小于3，设出C坐标，利用两点间的距离公式表示出C到原点的距离，利用基本不等式求出距离的最小值，让最小值小于3列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．

解答： 解：根据题意得：|OC|＜1+2=3，
设C（x，

k

x

），
∵|OC|=

x2+ k2 x2

≥

2k

，
∴

2k

＜3，即0＜k＜

9

2

，
则k的范围为（0，

9

2

）．
故答案为：（0，

9

2

）．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆与圆位置关系的判定，基本不等式的运用，以及两点间的距离公式，解题的关键是根据题意得出以C为圆心，1为半径的圆与原点为圆心，2为半径的圆有两个交点，即C到原点距离小于3．