Question

二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足条件：①f（0）=-1；②对任x∈R，均有f（x-4）=f（2-x）；③函数f（x）的图象与函数g（x）=x-1的图象相切．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当且仅当x∈[4，m]（m＞4）时，f（x-t）≤g（x）恒成立，试求t，m的值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（I）由①先求出c的值，x满足f（x-4）=f（2-x）从而a与b的关系，再利用相切得到另一个关系即可求出a，b；
（Ⅱ）把“当x∈[4，m]（m＞4）时，f（x-t）≤g（x）恒成立”这个不等式恒成立问题转化为“不等式f（x-t）≤g（x）的解集为[4，m]（m＞4）”这个我们比较熟悉的解集问题．根据函数满足的关系式代入得到a与b的关系式，对于不等式恒成立进行转化．

解答： 解：（Ⅰ）由①得c=-1，
由②知，-

b

2a

=-1，即b=2a，
所以f（x）=ax²+2ax-1，
由③知：方程ax²+2ax-1=x-1，即ax²+（2a-1）x=0有两个相等的实根，
∴a=

1

2

，故f(x)=

1

2

x2+x-1；
（Ⅱ）∵当且仅当x∈[4，m]（m＞4）时，f（x-t）≤g（x）恒成立，
∴不等式

1

2

(x-t)2+x-t-1≤x-1，即x²-2tx+t²-2t≤0的解集为[4，m]，
∴

4+m=2t 4m=t2-2t

，解得t=8，m=12或t=2，m=0，
∵m＞4，∴t=8，m=12符合题意．

点评：此题考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的图象与性质及不等式恒成立时所满足的条件，注意用到函数中等价转化的思想．