Question

20．若a，b是异面直线，P是a，b外的一点，有以下四个命题
①过P点一定存在直线l与a，b都相交；
②过P点一定存在平面与a，b都平行；
③过P点可作直线与a，b都垂直；
④过P点可作直线与a，b所成角都等于50°．
这四个命题中正确命题的序号是（　　）

• A． ①
• B． ②
• C． ③④
• D． ①②③

Answer 1

分析 如图所示，由于a，b是异面直线，可知存在唯一一对平面α∥β，且a?α，b?β．设不在a，b上的任意一点为P．①若点P∈α或P∈β，则不能够作直线l与a，b都相交；
②利用反证法和平行公理即可得出．
③过点P一定可作直线l⊥α，利用面面平行和线面垂直的性质可得l⊥a，l⊥b．
④利用异面直线所成角定义判断即可．

解答 解：如图所示，∵a，b是异面直线，∴存在唯一一对平面α∥β，且a?α，b?β．
设不在a，b上的任意一点为P．
①若点P∈α或P∈β，则不能够作直线l与a，b都相交，因此①不正确；
②假设过点P可作直线l∥a，l∥b，则a∥b，这与已知a，b是异面直线相矛盾．因此假设不成立，即不存在过点P的直线l与a，b都平行．
因此不正确．
③过点P一定可作直线l⊥α，∵α∥β，a?α，b?β，则l⊥a，l⊥b．
因此正确．
④过P点可作直线与a，b所成角都等于50°．正确．
综上可知：③④正确．
故选C．

点评 本题考查了异面直线的意义及其性质、线面面面平行与垂直的性质，属于中档题．