已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的一条渐近线与函数y=lnx+ln2+1的图象相切.则双曲线的离心率等于( )A．$\sqrt{2}$B．$\sqrt{3}$C．$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$D．$\sqrt{5}$ 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与函数y=lnx+ln2+1的图象相切，则双曲线的离心率等于（　　）

A．

$\sqrt{2}$

B．

$\sqrt{3}$

C．

$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

D．

$\sqrt{5}$

分析由函数的导数的几何意义可知：则渐近线的斜率为k=$\frac{a}{b}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，则$\frac{ln{x}_{0}+ln2+1}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，解得：x₀=$\frac{1}{2}$，即可求得b=2a，双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$．

解答解：由函数y=lnx+ln2+1，（x＞0），求导y′=$\frac{1}{x}$，设渐近线与函数的切点为P（x₀，y₀），
则渐近线的斜率为k=$\frac{b}{a}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
∴$\frac{ln{x}_{0}+ln2+1}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，解得：x₀=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2，b=2a，
双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
故选D．

点评本题考查导数的几何意义及双曲线的简单几何性质，考查直线的斜率公式，属于基础题．

练习册系列答案

相关题目

2．

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA⊥PC，底面ABCD为菱形，G为PC中点，E、F分别为AB、PB上一点，△BCE的面积为6$\sqrt{3}，AB=4AE=4\sqrt{2}，AC=4\sqrt{6}$，PB=4PF．
（1）求证：AC⊥DF；
（2）求证：EF∥平面BDG；
（3）求三棱锥B-CEF的体积．

3．阅读如图所示程序框图．若输入的x=3，则输出的y的值为（　　）

20．若a，b是异面直线，P是a，b外的一点，有以下四个命题
①过P点一定存在直线l与a，b都相交；
②过P点一定存在平面与a，b都平行；
③过P点可作直线与a，b都垂直；
④过P点可作直线与a，b所成角都等于50°．
这四个命题中正确命题的序号是（　　）

7．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y≥1\\ x+y≤4\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$则z=x-3y的取值范围为[-2，4]．

17．函数$y=\frac{x}{1-cosx}$的导数是（　　）

	A．	$\frac{1-cosx-xsinx}{1-cosx}$		B．	$\frac{1-cosx-xsinx}{{{{（1-cosx）}^2}}}$
	C．	$\frac{1-cosx+sinx}{{{{（1-cosx）}^2}}}$		D．	$\frac{1-cosx+xsinx}{{{{（1-cosx）}^2}}}$

4．已知命题p：方程$\frac{x^2}{2m}+\frac{y^2}{1-m}=1$表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线$\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{m}=1$的离心率e∈（1，2），若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．

1．设圆x²+y²+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E，求点E的轨迹方程．

2．在一次实验中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，2），B（2，3），C（3，4），D（4，5），则x与y之间的回归直线方程为（　　）

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