Question

15．已知函数f（x）=xe^x-k（x∈R）恰有两个零点，其中e为自然对数的底数，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0）
• B． $（-\frac{1}{e}，2{e^2}）$
• C． （0，2e²）
• D． $（-\frac{1}{e}，0）$

Answer 1

分析 求出函数的导函数，求出函数的最小值，根据函数的零点和最值关系即可得到结论．

解答 解：∵函数f（x）=xe^x-k的导函数f′（x）=（x+1）e^x，
令f′（x）=0，则x=-1，
∵当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（-1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
故当x=-1时，函数取最小值f（-1）=-e^-1-k，
若函数f（x）=xe^x-k有两个零点，
则f（-1）=-e^-1-k＜0
即k＞-$\frac{1}{e}$，
又∵k≥0时，x∈（-∞，-1）时，f（x）=xe^x-k＜0恒成立，不存在零点，
故k＜0．
综上-$\frac{1}{e}$＜k＜0，
故选：D．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键，利用导数是解决本题的关键．