Question

10．由于渤海海域水污染严重，为了获得第一手的水文资料，潜水员需要潜入水深为60米的水底进行作业，根据经验，潜水员下潜的平均速度为v（米/单位时间），每单位时间消耗氧气${（\frac{v}{10}）^3}+1$（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间消耗氧气0.9（升），返回水面的平均速度为$\frac{v}{2}$（米/单位时间），每单位时间消耗氧气1.5（升），记该潜水员完成此次任务的消耗氧气总量为y（升）．
（1）求y关于v的函数关系式；
（2）若c≤v≤15（c＞0），求当下潜速度v取什么值时，消耗氧气的总量最少．

Answer 1

分析 （1）分别计算潜入水底用时用氧量，水底作业时用氧量和返回水面用时用氧量，即可得到总用氧量的函数y；
（2）求导数y′，判断函数y的单调性，讨论c的取值，求出下潜速度v取什么值时消耗氧气的总量最少．

解答 解：（1）由题意，下潜用时$\frac{60}{v}$单位时间，
用氧量为[${（\frac{v}{10}）}^{3}$+1]×$\frac{60}{v}$=$\frac{{3v}^{2}}{50}$+$\frac{60}{v}$（升），
水底作业时的用氧量为10×0.9=9（升），
返回水面用时$\frac{60}{\frac{v}{2}}$=$\frac{120}{v}$单位时间，
用氧量为$\frac{120}{v}$×1.5=$\frac{180}{v}$（升），
∴总用氧量为y=$\frac{{3v}^{2}}{50}$+$\frac{240}{v}$+9（v＞0）；
（2）求导数y′=$\frac{6v}{50}$-$\frac{240}{{v}^{2}}$=$\frac{3{（v}^{3}-2000）}{2{5v}^{2}}$，
令y'=0，解得v=10$\root{3}{2}$，
在0＜v＜10$\root{3}{2}$时，y'＜0，函数y单调递减，
在v＞10$\root{3}{2}$时，y'＞0，函数y单调递增；
∴当c＜10$\root{3}{2}$时，函数y在（0，10$\root{3}{2}$）上递减，在（10，$\root{3}{2}$15）上递增，
此时v=10$\root{3}{2}$时用氧量最少；
当c≥10$\root{3}{2}$时，函数y在[c，15]上递增，
此时v=c时，总用氧量最少．

点评 本题考查了函数模型的构建以及基本不等式的运用问题，也考查了利用导数判断函数单调性问题，是综合题．