Question

15．底面是正方形的四棱锥中P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是等腰直角三角形，其中PA=PD，E，F分别为线段PC，DB的中点，问在线段AB上是否存在点G，使得二面角C-PD-G的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，若存在，请求出点G的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 取AD中点O，连结PO，以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD中过O作AD的垂线为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出在线段AB上存在点G，使得二面角C-PD-G的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，且AG=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

解答 解：假设在线段AB上存在点G，使得二面角C-PD-G的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
取AD中点O，连结PO，
∵底面是正方形的四棱锥中P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是等腰直角三角形，其中PA=PD，
∴PO⊥平面ABCD，
以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD中过O作AD的垂线为y轴，以OP为z轴，
建立空间直角坐标系，设PA=PD=$\sqrt{2}$，
则G（1，t，0）（0≤t≤2），C（-1，2，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），D（-1，0，0），
$\overrightarrow{PD}$=（-1，0，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（-1，2，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PG}$=（1，t，-$\sqrt{2}$），
设平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=-x-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=-x+2y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$，0，-1），
设平面PDG的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=-a-\sqrt{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PG}=a+tb-\sqrt{2}c=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}$，-$\frac{2\sqrt{2}}{t}$，-1），
∵二面角C-PD-G的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{3}×\sqrt{3+\frac{8}{{t}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴在线段AB上存在点G，使得二面角C-PD-G的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，且AG=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查满足条件的点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．