Question

5．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF₂与椭圆的另一个交点为C，若$\overrightarrow{A{F_2}}+2\overrightarrow{C{F_2}}$=0，则椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，求出A的坐标，结合向量加法的坐标运算，求得C的坐标，代入椭圆方程可解e的值．

解答 解：如图，

由题意，A（-c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），F₂（c，0），C（x，y），
∵$\overrightarrow{A{F}_{2}}$+2$\overrightarrow{C{F}_{2}}$=0，（2c，$\frac{{b}^{2}}{a}$）+2（-x+c，-y）=0，
∴y=$\frac{{b}^{2}}{2a}$，x=2c．
∴C（2c，$\frac{{b}^{2}}{2a}$），代入椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{4{a}^{2}}$=1，由b²=a²-c²，
整理得：5c²=a²，解得e=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
椭圆的离心率$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了平面向量的坐标运算在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．