Question

已知集合A={x|（x-2a）（x+a-1）≤0}，B={x|

x-3

x+2

＞0}，若A∪B=R，求a的取值范围．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,并集及其运算

专题：不等式的解法及应用

分析：易得B={x|x＜-2或x＞3}，分类讨论：
（1）当a＜

1

3

时，A={x|2a≤x≤1-a}，由A∪B=R可得2a≤-2且1-a≥3，解不等式可得；
（2）当a＞

1

3

时，A={x|1-a≤x≤2a}，由A∪B=R可得1-a≤-2且2a≥3，解不等式可得；
（3）当a=

1

3

时，A={x|x=

2

3

}，不可能满足A∪B=R．
综合可得a的取值范围．

解答： 解：∵B={x|

x-3

x+2

＞0}={x|x＜-2或x＞3}，
（1）当a＜

1

3

时，2a＜1-a，此时A={x|（x-2a）（x+a-1）≤0}={x|2a≤x≤1-a}，
由A∪B=R可得2a≤-2且1-a≥3，解得a≤-2，结合a＜

1

3

可得a≤-2；
（2）当a＞

1

3

时，2a＞1-a，此时A={x|（x-2a）（x+a-1）≤0}={x|1-a≤x≤2a}，
由A∪B=R可得1-a≤-2且2a≥3，解得a≥3，结合a＞

1

3

可得a≥3；
（3）当a=

1

3

时，2a＜1-a，此时A={x|（x-2a）（x+a-1）≤0}={x|x=

2

3

}，不可能满足A∪B=R．
综上可得a的取值范围为：（-∞，-2]∪[3，+∞）

点评：本题考查不等式的解法，涉及集合的运算和分类讨论的思想，属中档题．