Question

已知⊙O：x²+y²=9，点A（2，2），过A作两条互相垂直的弦CD和EF．
（1）求证：CD²+EF²为定值；
（2）求四边形CDEF的面积的最大值；
（3）求弦CD与EF的长之和的最大值；
（4）求△OEF的面积的最大值；
（5）点B（1，1），过B点作一条直线l交⊙O于K、H，求△OKH面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：按照圆的半径与半弦长以及弦心距之间的关系结合基本不等式求最值．

解答： 解：（1）取CD的中点M、EF的中点N，则由弦的性质可得OMAN为矩形，
∴OM²+ON²=OA²=8．
∵OD²-OM²=(

CD

2

)2，OE²-ON²=(

EF

2

)2，即 9-OM²=(

CD

2

)2，9-ON²=(

EF

2

)2，
∴9-8=(

CD

2

)2+(

EF

2

)2，
∴CD²+EF²=4．
（2）∵圆O的方程为：x²+y²=9，
∴圆心O坐标（0，0），半径r=3，
设圆心O到CD、EF的距离分别为d₁、d₂，
∵A（2，2），∴d₁²+d₂²=OA²=8，
又CD=2

r2-d12

=2

9-d12

，EF=2

r2-d22

=2

9-d22

，
∴四边形CDEF的面积S=

1

2

CD•EF=2

r2-d22

9-d22

≤（9-d12）+（9-d22）=18-8=10，
当且仅当d₁² =d₂²时取等号，
∴四边形CDEF面积的最大值为10．
（3）由（1）结合基本不等式得（|CD|+|EF|）²≤2（|CD|²+|EF|²）=8，
当且仅当|CD|=|EF|=

2

时，|CD|+|EF|的最大值为2

2

．
（4）△OEF的面积=

1

2

×EF×d2=

1

2

×2

9-d22

d2=

(9-d22)d22

≤

9-d22+d22

2

=

9

2

；
所以△OEF的面积的最大值为

9

2

；
（5）点B（1，1），过B点作一条直线l交⊙O于K、H，则△OKH面积为

1

2

×KH×d=

1

2

×2×

9-d2

d≤

9

2

，所以△OKH面积的最大值

9

2

．

点评：本题给出圆内经过定点的互相垂直的两条直线，求它们长度和的最大值．着重考查了垂径定理、直线与圆的位置关系和运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．