Question

已知等比数列{a_n}单调递增，a₁+a₄=9，a₂•a₃=8，b_n=log₂a_n
（Ⅰ）求a_n
（Ⅱ）若T_n=

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

＞0.99．求n的最小值．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，由a₁+a₄=9，a₂•a₃=8得

a1+a1q3=9 a12q3=8

，解得即可，
（Ⅱ）先求出数列{b_n}的通项公式，再根据

1

bnbn+1

=

1

n-1

-

1

n

，利用裂项求和求出T_n，根据不等式的性质得到n的最小值

解答： （Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，由a₁+a₄=9，a₂•a₃=8得

a1+a1q3=9 a12q3=8

，解得

a 1=1 q=2

．或

a1=8 q= 1 2

，
∵等比数列{a_n}单调递增，
∴得

a 1=1 q=2

．，
∴a_n=2^n-1，
（Ⅱ）∵b_n=log₂a_n，
∴b_n=log₂2^n-1=n-1，
∴b_nb_n+1=n（n-1），
∴

1

bnbn+1

=

1

n-1

-

1

n

，
T_n=

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）=1-

1

n

＞0.99=1-

1

100

，
∴

1

n

＜

1

100

，即n＞100，
∴n的最小值101．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项公式的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用