Question

17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（　　）

• A． ω=π
• B． φ=$\frac{π}{4}$
• C． f（x）的单调减区间为（2k-$\frac{1}{4}$，2k+$\frac{3}{4}$），k∈Z
• D． f（x）的对称中心是（k+$\frac{1}{4}$，0），k∈Z

Answer 1

分析 由题意和图象求出函数的周期，由周期公式求出ω的值，可判断出A；把点（$\frac{1}{4}$，0）代入解析式化简后，由题意求出φ的值判断出B；由整体思想和正弦函数的单调性求出递减区间，判断出C；由整体思想和正弦函数的对称中心求出f（x）的对称中心，判断出D．

解答 解：由图象得，A=1，$\frac{1}{2}$T=$\frac{5}{4}-\frac{1}{4}$=1，则T=2，
由$T=\frac{2π}{ω}=2$ 得，ω=π，则A正确；
因为过点（$\frac{1}{4}$，0），所以sin（$\frac{1}{4}$π+φ）=0，
则$\frac{1}{4}$π+φ=kπ（k∈Z），φ=$-\frac{π}{4}$+kπ（k∈Z），
又|φ|＜π，则φ=$-\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$，所以f（x）=sin（πx$-\frac{π}{4}$）或f（x）=sin（πx+$\frac{3π}{4}$），则B错误；
当f（x）=sin（πx+$\frac{3π}{4}$）时，
由$\frac{π}{2}+2kπ≤πx+\frac{3π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，$-\frac{1}{4}+2k≤x≤\frac{3π}{4}+2k（k∈Z）$，
所以函数的递减区间是（2k-$\frac{1}{4}$，2k+$\frac{3}{4}$），k∈Z，则C正确；
当f（x）=sin（πx$-\frac{π}{4}$）时，由πx$-\frac{π}{4}$=kπ（k∈Z）得，x=k+$\frac{1}{4}$（k∈Z），
所以f（x）的对称中心是（k+$\frac{1}{4}$，0），k∈Z，则D正确；
故选B．

点评 本题考查由图象求形如y=Asin（ωx+φ）的解析式，正弦函数的单调性、对称中心，以及整体思想，属于中档题．