Question

2．已知动圆M恒过点（0，1），且与直线y=-1相切．
（1）求圆心M的轨迹方程；
（2）动直线l过点P（0，-2），且与点M的轨迹交于A、B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．

Answer 1

分析 （1）由题意可知圆心M的轨迹为以（0，1）为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，根据抛物线的方程即可求得圆心M的轨迹方程；
（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则C（-x₂，y₂）．代入抛物线方，由韦达定理及直线直线AC的方程为：y-y₂=-$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$（x+x₂），把根与系数的关系代入可得4y=（x₂-x₁）x+8，令x=0，即可得出直线恒过定点．

解答 解：（1）∵动点M到直线y=-1的距离等于到定点C（0，1）的距离，
∴动点M的轨迹为抛物线，且$\frac{p}{2}$=1，解得：p=2，
∴动点M的轨迹方程为x²=4y；
（2）证明：由题意可知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为：y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则C（-x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，化为x²-4kx+8=0，
△=16k²-32＞0，
解得k＞$\sqrt{2}$或k＜-$\sqrt{2}$．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=8．
直线直线AC的方程为：y-y₂=-$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$（x+x₂），
又∵y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，
∴4ky-4k（kx₂-2）=（kx₂-kx₁）x+kx₁x₂-kx₂²，
化为4y=（x₂-x₁）x+x₂（4k-x₂），
∵x₁=4k-x₂，
∴4y=（x₂-x₁）x+8，
令x=0，则y=2，
∴直线AC恒过一定点（0，2）．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线的方程求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、抛物线定义的合理运用，属于中档题．