题目内容

5．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{NO}$，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．
（i）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标；
（ii）求△OAB面积的最大值．

分析 （Ⅰ）由离心率公式，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）（i）设直线AB的方程为y=kx+t，代入椭圆方程，利用直线的点斜式方程，求得M和N点坐标，由$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{NO}$，利用韦达定理，化简当t=-2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，-2）；
（ii）S△OAB=丨S△OQA-S△OQB丨=丨x1-x2丨，由韦达定理，弦长公式，利用二次函数的性质，即可求得△OAB面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则a2=4b2，
将P（2，1）代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，则$\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，解得：b2=2，则a2=8，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）（i）当M，N分别是短轴的端点时，显然直线AB为y轴，所以若直线过定点，这个定点一点在y轴上，
当M，N不是短轴的端点时，设直线AB的方程为y=kx+t，设A（x1，y1）、B（x2，y2），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx+t}\end{array}\right.$，（1+4k2）x2+8ktx+4t2-8=0，
则△=16（8k2-t2+2）＞0，
x1+x2=-$\frac{8kt}{4{k}^{2}+1}$，x1x2=$\frac{4{t}^{2}-8}{4{k}^{2}+1}$，
又直线PA的方程为y-1=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$（x-2），
即y-1=$\frac{k{x}_{1}+t-1}{{x}_{1}-2}$（x-2），
因此M点坐标为（0，$\frac{（1-2k）{x}_{1}-2t}{{x}_{1}-2}$），同理可知：N（0，$\frac{（1-2k）{x}_{2}-2t}{{x}_{2}-2}$），
由$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{NO}$，则$\frac{（1-2k）{x}_{1}-2t}{{x}_{1}-2}$+$\frac{（1-2k）{x}_{2}-2t}{{x}_{2}-2}$=0，
化简整理得：（2-4k）x1x2-（2-4k+2t）（x1+x2）+8t=0，
则（2-4k）×$\frac{4{t}^{2}-8}{4{k}^{2}+1}$-（2-4k+2t）（-$\frac{8kt}{4{k}^{2}+1}$）+8t=0，
化简整理得：（2t+4）k+（t2+t-2）=0，
当且仅当t=-2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，-2）；
（ii）由（i）可知：S△OAB=丨S△OQA-S△OQB丨=丨$\frac{1}{2}$丨OQ丨•丨x1丨-$\frac{1}{2}$丨OQ丨•丨x2丨丨，
=$\frac{1}{2}$×2×丨x1-x2丨=丨x1-x2丨=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
$\sqrt{（\frac{16k}{4{k}^{2}+1}）^{2}-4×\frac{8}{4{k}^{2}+1}}$=4$\sqrt{\frac{8{k}^{2}-2}{（4{k}^{2}+1）^{2}}}$，
令4k2+1=u，则S△OAB=4$\sqrt{\frac{2u-4}{{u}^{2}}}$，
=4$\sqrt{-（\frac{2}{u}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$≤2，
即当$\frac{2}{u}$=$\frac{1}{2}$，u=4，即k=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，等号成立，
∴△OAB面积的最大值2．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查椭圆与函数最值得综合应用，考查计算能力，属于中档题．

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中学组
合计
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P（k2≥k0）0.100.050.005
k02.7063.8417.879
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