Question

17．已知F是抛物线C：x²=2py，p＞0的焦点，G、H是抛物线C上不同的两点，且|GF|+|BF|=3，线段GH的中点到x轴的距离为$\frac{5}{4}$，点P（0，4），Q（0，8），曲线D上的点M满足$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=0．
（Ⅰ）求抛物线C和曲线D的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+m分别与抛物线C相交于点A，B（A在B的左侧）、与曲线D相交于点S，T（S在T的左侧），使得△OAT与△OBS的面积相等？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线定义知：$\frac{5}{4}$+$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$，得p=$\frac{1}{2}$，即可求出抛物线的方程；
（2）由△OAT与△OBS的面积相等，得AS=TB，可得x₁+x₂=x₄+x₃，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）由抛物线定义知：$\frac{5}{4}$+$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$，得p=$\frac{1}{2}$
故抛物线的方程为x²=y；
设M（x，y），则∵$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=0，
∴（-x，4-y）•（-x，8-y）=0，
∴x²+（y-6）²=4，
∴曲线D的方程为x²+（y-6）²=4；
（2）∵△OAT与△OBS的面积相等，
∴AT=BS，
∴AS=TB
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），S（x₃，y₃），T（x₄，y₄），
∴x₁-x₃=x₄-x₂，即x₁+x₂=x₄+x₃，
直线l：y=kx+m代入抛物线方程得：x²-kx-m=0
因为直线l与抛物线于A、B两点，所以△₁=k²+4km＞0…①
x₁+x₂=k
直线l：y=kx+m代入圆方程得：（1+k²）x²+2（mk-6k）x+m²-12m+32=0
因为直线l与圆于C，D两点，所以△₂＞0，即[2（mk-6k）]²-4（1+k²）（m²-12m+32）＞0…②…（9分）
x₃+x₄=$\frac{12k-2mk}{1+{k}^{2}}$
因为x₁+x₂=x₄+x₃，所以$\frac{12k-2mk}{1+{k}^{2}}$=k，化简得k²=11-2m
代入①②得，解得-2＜m＜$\frac{11}{2}$．

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度大．