Question

20．已知命题p：实数x满足x²-2x-8≤0；命题q：实数x满足2-m≤x≤2+m（m＞0）．
（1）当m=3时，若“p且q”为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）命题p：实数x满足x²-2x-8≤0，解得-2≤x≤4；当m=3时，命题q：-1≤x≤5．由于“p且q”为真，则p与q都为真．
（2）记A=[-2，4]，B=[2-m，2+m]（m＞0）．由于p是q的充分不必要条件，可得A?B，即可得出．

解答 解：（1）命题p：实数x满足x²-2x-8≤0，解得-2≤x≤4；
当m=3时，命题q：-1≤x≤5．
∵“p且q”为真，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤4}\\{-1≤x≤5}\end{array}\right.$，解得-1≤x≤4．
∴实数x的取值范围是[-1，4]．
（2）记A=[-2，4]，B=[2-m，2+m]（m＞0）．
∵p是q的充分不必要条件，∴A?B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2-m≤-2}\\{4≤2+m}\end{array}\right.$，且等号不能成立，
解得m≥4．

点评 本题考查了不等式的解法、集合之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．