Question

2．设数列{a_n}满足：a₁=$\frac{1}{2}$，且a_n+1=a_n+a_n²（n∈N^*）．
（1）求证；a_n＜a_n+1≤3a_n²；
（2）令b_n=a_n+1，求证：1＜$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$＜2．

Answer 1

分析 （1）推导出${a}_{n+1}-{a}_{n}={{a}_{n}}^{2}$＞0，{a_n}是增数列，${a}_{n}≥\frac{1}{2}$，由此能证明a_n＜a_n+1≤3a_n²．
（2）把给出的递推式变形得到$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$，然后利用累加法进行化简，再由递推式能证明1＜$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$＜2．

解答 证明：（1）∵a₁=$\frac{1}{2}$，且a_n+1=a_n+a_n²（n∈N^*），
∴${a}_{n+1}-{a}_{n}={{a}_{n}}^{2}$＞0，
∴a_n＜a_n+1，
∵${a}_{1}=\frac{1}{2}$，{a_n}是增数列，∴${a}_{n}≥\frac{1}{2}$，∴2a_n²≥a_n，∴a_n+1=a_n+a_n²≤3a_n²，
∴a_n＜a_n+1≤3a_n²．
（2）∵a_n+1=a_n+a_n²=a_n（a_n+1），b_n=a_n+1，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$
又$\frac{1}{{a}_{1}}$=2，
∴$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$
=$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{n-1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$
=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∵$0＜\frac{1}{{a}_{n}}＜1$，
∴1＜$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$＜2．

点评 本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了累加法求得数列的和，解答此题的关键是由递推式得到列项公式，是中档题．