Question

7．从某学校的1600名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按照如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，如图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，第六组的人数为4人．
（1）求第七组的频率；
（2）试估计该学校1600名男生中身高在180cm（含180cm）以上的人数；
（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽两名男生，设他们的身高分别为x，y，记事件E={（x，y）|（x-y）²≤25}，求事件E的概率．

Answer 1

分析 （1）先求出第六组的频率，再由频率分布直方图中频率之和为1，求出第七组的频率．
（2）由直方图得到后三组的频率，由此能估计该校1600名男生中身高在180cm以上（含180cm）的人数．
（3）第六组[180，185）的人数为4人，第八组[190，195）的人数为2人，由此利用列举法能求出事件E的概率．

解答 解：（1）∵从某学校的1600名男生中随机抽取50名测量身高，第六组的人数为4人，
∴第六组的频率为$\frac{4}{50}=0.08$，
∴第七组的频率为：1-0.08-5×（0.008×2+0.016+0.04×2+0.06）=0.06．…（4分）
（2）由直方图得到后三组的频率为0.06+0.08+0.008×5=0.18，
∴估计该校1600名男生中身高在180cm以上（含180cm）的人数为0.18×1600=288人．…（8分）
（3）第六组[180，185）的人数为4人，设为a，b，c，d，
第八组[190，195）的人数为2人，设为A，B，
则有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB，共15种情况．
∵事件E={（x，y）|（x-y）²≤25}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，
∴事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况，
故$P（E）=\frac{7}{15}$．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质和列举法的合理运用．