Question

6．过点P（-1，1）向抛物线y²=4x作切线PA，PB，切点分别为A，B，过焦点F分别向PA，PB作垂线，垂足分别为C，D，则△FCD的面积是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 设过点P的切线为y-1=k（x+1），联立抛物线的方程，运用直线与抛物线相切的条件：判别式为0，求得切线的斜率，可得四边形PCFD为矩形，求出切线的方程，运用点到直线的距离公式可得矩形的两边长，即可得到所求△PCD的面积．

解答 解：设过点P的切线为y-1=k（x+1），
联立抛物线的方程，消去x，可得ky²-4y+4k+4=0，
由相切的条件，可得△=0，即为16-4k（4k+4）=0，
即k²+k-1=0，解得k=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
由k₁k₂=-1，可得两切线PA，PB垂直，
即有四边形PCFD为矩形，
设PA的方程为y-1=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$（x+1），
即为$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$x-y+$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$=0，
可得F到直线PA的距离为d₁=$\frac{|\frac{-1+\sqrt{5}}{2}+\frac{1+\sqrt{5}}{2}|}{\sqrt{1+\frac{6-2\sqrt{5}}{4}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}$，
同理可得F到直线PB的距离为d₂=$\frac{|\frac{-1-\sqrt{5}}{2}+\frac{1-\sqrt{5}}{2}|}{\sqrt{1+\frac{6+2\sqrt{5}}{4}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$，
则△PCD的面积为S=$\frac{1}{2}$d₁d₂=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}$×$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查抛物线的方程及性质，考查直线和抛物线相切的条件，同时考查点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题．