Question

设（1+

1

2

x）^m=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_mx^m，若a₀，a₁，a₂成等差数列．
（1）求（1+

1

2

x）^m展开式的中间项；
（2）求（1+

1

2

x）^m展开式中所有含x奇次幂的系数和．

Answer 1

考点：二项式系数的性质,二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：（1）由2a₁=a₀+a₂，求得m=8，可得(1+

1

2

x)m展开式的中间项是第五项，再根据通项公式求得结果．
（2）在所给的等式中，分别令x=1、x=-1，可得2个等式，由这2个等式即可求得展开式中所有含x奇次幂的系数和．

解答： 解：（1）依题意a₀=1，a1=

m

2

，a2=Cm2(

1

2

)2，由2a₁=a₀+a₂，求得m=1（舍去），或m=8．
所以(1+

1

2

x)m展开式的中间项是第五项为：T5=

C

4 8

(

1

2

x)4=

35

8

x4．
（2）∵(1+

1

2

x)m=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+amxm，
即(1+

1

2

x)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8，
令x=1，则a0+a1+a2+a3+…+a8=(

3

2

)8，
x=-1，则a0-a1+a2-a3+…+a8=(

1

2

)8，
所以，a1+a3+a5+a7=

38-1

29

=

205

16

所以展开式中含x的奇次幂的系数和为

205

16

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．