题目内容
如图，一艘轮船在某海岛附近的海上匀速直线航行，海岛上一观察哨A在上午11时测得轮船在海岛北偏东60°的B处，12时20分测得轮船在海岛北偏西60°的C处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距离海岛5海里的D港口．（Ⅰ）求证：S△ABC=4S△ACD；
（Ⅱ）求轮船的速度（单位：海里/小时）．
考点：余弦定理,正弦定理
专题：三角函数的求值
分析：（Ⅰ）根据题意求出轮船在BC段用的时间与在CD段用的时间，根据速度相同得到时间之比即为路程之比，求出BC与CD比值，再根据三角形ABC与三角形ACD高相同，即可得证；
（Ⅱ）根据题意，可知BC=4CD，设CD=x海里，则BC=4x海里，在三角形BAD中，由正弦定理求得sinB，再在△ABC中，由正弦定理AC的长，在△ACD中，由余弦定理，得CD的长，从而得出船速即可．
（Ⅱ）根据题意，可知BC=4CD，设CD=x海里，则BC=4x海里，在三角形BAD中，由正弦定理求得sinB，再在△ABC中，由正弦定理AC的长，在△ACD中，由余弦定理，得CD的长，从而得出船速即可．
解答：
解：（Ⅰ）根据题意得：轮船在BC段用的时间为1时20分=80分；在CD段用的时间为20分，
∵轮船匀速行驶，BC段与CD段的时间之比为4：1，
∴BC：CD=4：1，
∵△ABC与△ACD高相同，
∴S△ABC=4S△ACD；
（Ⅱ）依题意，上午11时在某海岛上一观察点A测得一轮船在海岛北偏东60°的B处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的C处，12时40分轮船到达了位于海岛正西方且距海岛5海里的E港口，轮船始终以匀速直线前进．
可知BC=4BE，
设CD=x海里，则BC=4x海里，
由已知，得∠CAD=30°，∠DAB=150°，
由正弦定理得
=
，即sinB=
=
=
，
在△ABC中，由正弦定理，得
=
，
∴AC=
，
在△ACD中，由余弦定理，得CD2=AC2+AD2-2AC•AD•cos30°=
+25-2×
×5×
=
，即CD=
，
∴船速V=
=
=
=
（海里/小时）．
∵轮船匀速行驶，BC段与CD段的时间之比为4：1，
∴BC：CD=4：1，
∵△ABC与△ACD高相同，
∴S△ABC=4S△ACD；
（Ⅱ）依题意，上午11时在某海岛上一观察点A测得一轮船在海岛北偏东60°的B处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的C处，12时40分轮船到达了位于海岛正西方且距海岛5海里的E港口，轮船始终以匀速直线前进．
可知BC=4BE，
设CD=x海里，则BC=4x海里，
由已知，得∠CAD=30°，∠DAB=150°，
由正弦定理得
| DB |
| sin∠DAB |
| AD |
| sinB |
| ADsin∠DAB |
| DB |
5×
| ||
| 5x |
| 1 |
| 2x |
在△ABC中，由正弦定理，得
| 4x |
| sin120° |
| AC | ||
|
∴AC=
4
| ||
| 3 |
在△ACD中，由余弦定理，得CD2=AC2+AD2-2AC•AD•cos30°=
| 16 |
| 3 |
4
| ||
| 3 |
| ||
| 2 |
| 31 |
| 3 |
| ||
| 3 |
∴船速V=
| S |
| t |
| CD | ||
|
| ||||
|
| 93 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
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